Selasa, 03 Juni 2008

Fisika Statistik Distribusi Poisson

1. PENDAHULUAN

• Riwayat
Distribusi Poisson dikembangkan oleh Simon Poisson pada tahun 1837. Poisson bukanlah berasal dari keluarga bangsawan, meskipun sulit memilah perbedaan antara bangsawan dengan kaum Borjuis di Perancis setelah terjadi revolusi, walaupun system kelas atau kasta ini masih tetap berlaku di Perancis. Ayah Poisson adalah seorang prajurit. Posisi prajurit selalu dapat deskriminasi sebelum akhirnya mengundurkan diri dan beralih profesi dengan mengerjakan tugas-tugas administrative. Kakak perempuan dan kakak laki-laki Poisson sudah meninggal karena sakit, sehingga kelahiran Poisson menjadi berkah tersendiri bagi keluarga ini.

• Mengenal Matematika
Ketika Poisson berusia 8 tahun, terjadi pemberontakan penduduk Paris pada tanggal 14 Juli 1789 yang dianggap memicu terjadi revolusi Prancis. Semua yang merasa menderita oleh kaum bangsawan memberontak, termasuk ayah Poisson. Ayahnya memutuskan agar Poisson menjadi ahli bedah, karena pamannya adalah seorang ahli bedah ternama di Fountainbleau. Nyatanya Poisson tidak cocok menjadi asisten ahli bedah karena kurang mempunyai koordinasi dalam gerakan tangan dan tidak mempunyai minat dengan profesi di bidang medical.

• Masuk Ecole Polytecnique.
Tahun 1796, Poisson menuntut ilmu di Ecole Centrale. Kurangnya koordinasi tangan, namun mempunyai minat belajar yang besar pada bidang matematika. Prestasi akademik dengan cepat dapat diraih oleh Poisson, Sukses akademis dapat diraih dengan antusiasme tinggi dan kerja keras. Menggunakan waktu luangnya untuk menikmati opera atau aktivitas sosial. Kelemahan, koordinasi tangan, hilang apabila dia mulai menggambar diagram-diagram matematikal. Laplace dan Lagrange adalah dua dosen yang dengan segera mengenali bakat matematika Poisson.
Makalah yang ditulis oleh Poisson yang saat itu masih berumur 18 tahun menarik perhatian Legendre. Poisson berkutat dengan geometri deskriptif yang menjadi topik utama di Ecole, namun harus “mengalah” kepada Monge, karena dia tidak dapat menggambar diagram. Pada tahun akhir Poisson menulis makalah tentang teori-teori persamaan dan theorema Bezout, yang membuatnya lulus tanpa perlu menjalani ujian akhir. Prestasi ini membuat Poisson diangkat menjadi asisten di Ecole dengan rekomendasi dari Laplace.

• Bentrok dengan Fourier
Karir Poisson terus melejit seiring dengan banyaknya tanggung jawab yang ada dipundaknya. Tahun 1815, diangkat sebagai penguji di Ecole Militaire dan tahun berikutnya menjadi penguji ujian akhir di Ecole Polytechnique. Tetap melakukan penelitian dan mengajar sehingga perannya makin mencorong dalam organisasi matematikawan Perancis. Penelitiannya mencakup banyak bidang termasuk matematika terapan. Meskipun Poisson tidak dapat menemukan teori baru, namun peran sebenarnya adalah mengembangkan teori-teori orang lain dan menunjukkan kegunaan teori tersebut.
Tahun 1813, Poisson mempelajari potensi daya-tarik dalam molekul, hasilnya akhirnya adalah aplikasi elektrostatis. Disusul dengan penelitian dalam bidang elektrik dan magnetik. Membuat makalah tentang kecepatan suara dalam medium gas, media penghantar panas, getaran-getaran elastik. Buku tentang panas yang diterbitkan Poisson membuat Fourier berang, dan menuduh Poisson seorang plagiator. Alasan yang dikemukan Poisson dimaklumi Fourier pada tahun 1820, sebelum pada tahun 1823 menerbitkan artikel tentang panas, yang hasilnya memberi pengaruh kepada Sadi Carnot. Banyak karya-karya Poisson dipengaruhi atau merupakan pengembangan karya Laplace.
• Teori Probabilitas
Lewat buku Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et matiere civile, yang terbit pada tahun 1837, Poisson membahas teori probabilitas, dan istilah distribusi Poisson muncul. Distribusi Poisson mengambarkan probabilitas terhadap persitiwa acak (random) yang akan terjadi pada jeda (interval) waktu atau ruang dengan kondisi probabilitas sangat kecil, meskipun jumlah percobaan yang dilakukan besar tetapi hasilnya tidak berarti. Ide-ide Poisson yang beragam membuat namanya diabadikan dalam istilah, sebagai contoh: integral Poisson, [tanda] kurung Poisson dalam integral, nisbah (ratio) Poisson dalam elastisitas, dan konstanta Poisson dalam elektrik.
Meskipun selama hidup, namanya relatif kurang kurang dikenal sebagai matematikawan Perancis, namun reputasinya sebagai matematikawan terkemuka diakui oleh para matematikawan mancanegara. Rupanya ide-ide Poisson menular kepada mereka. Poisson sendiri mendarmabaktikan diri sepenuhnya untuk matematika, seperti yang ditulis oleh Arago, “Kehidupan ini indah hanya dalam dua hal: mempelajari matematika dan mengajarkannya.”


2. PENGERTIAN

Pengertian Distribusi Probabilitas
• Distribusi probabilitas adalah sebuah susunan distribusi yang mempermudah mengetahui probabilitas sebuah peristiwa.
• Merupakan hasil dari setiap peluang peristiwa.

Pengertian Variabel acak (random)
Sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda.


Pengertian Distribusi Poisson
Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika bangsa Perancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis yang memakai variable random (variable acak) diskrit.
Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis.
Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.


3. CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :
Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah
Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit
Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan


4. PENGGUNAAN DISTRIBUSI POISSON

Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal:
a). menghitung Probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari:
Kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank
Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol.
banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruangangkasa atau banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air.
jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik
Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan.
distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang.
Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson.

b). Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1).

Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut :
a. jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.
b. menghitung di daerah terpisah adalah bebas.
c. kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.


5. RUMUS DISTRIBUSI POISSON
Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

Rumus Probabilitas Poisson Suatu Peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

P(X) = µ_X . X_µ / X!

Keterangan: P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson
µ = Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n . p
e = Bilangan konstan = 2,71828
X = Jumlah nilai sukses
P = Probabilitas sukses suatu kejadian
! = lambang faktorial




Contoh 1.1
Jumlah emiten di BEJ ada 150 perusahaan. Probabilitas perusahaan memberikan deviden pada tahun 2002 hanya 0,1. apabila BEJ meminta laporan dari emiten sebanyak 5 perusahaan, berapa probabilitas 5 perusahaan tersebut adalah perusahaan yang membagikan deviden?
Jawab:
n = 150, X = 5, dan p = 0,1 (ini merupakan cirri distribusi Poisson, n > 50 dan p kecil yaitu )
µ = n . p = 150 x 0,1 = 15

Jadi probabilitas 5 perusahaan sample membagikan deviden hanya 0,002 atau 0,2%





Distribusi Poisson sebagai Pendekatan dari Distribusi Binomial
Uraian ini akan diarahkan pada pembuktian bahwa distribusi Poisson sebagai pendekatan dari distribusi binomial.


Probabilitas Distribusi Poisson Kumulatif
Probabilitas Poisson Kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa Poisson lebih dari satu. Probabilitas Poisson kumulatif dapat dihitung dengan rumus:


Menggunakan tabel untuk distribusi Poisson
Untuk membantu memperoleh dengan cepat nilai probabilitas distribusi Poisson, table hasil distribusi Poisson akan sangat membantu. Penggunaan tabel distribusi Poisson menghendaki pengetahuan nilai tengah rata-rata hitung (µ= n.p) dan jumlah sukses X. Pada baris dapat dilihat nilai µ dan pada kolom dapat dilihat nilai X. Pada contoh 1.1 nilai µ = 15, X = 5 dengan melihat tabel dapat diketahui nilai probabilitas distribusi Poisson adalah 0,002.


X µ
1 2 2,5 3 4 5 6 7 8 9 10 15
0 0,368 0,135 0,082 0,050 0,018 0,007 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000
0,000
1 0,368 0,000
2 0,184 0,000
3 0,061 0,000
4 0,015 0,001
5 0,003 0,002
6 0,001 0,005
7 0,000 0,010
8 0,000 0,019
9 0,000 0,032
10 0,000 0,049


Menggunakan MS Excel Untuk Distribusi Poisson

1 Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function
2 Pilih menu statistical pada function category
3 Pilih menu Poisson pada fungsi name, kemudian tekan OK.
4 Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

5. Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)




KESIMPULAN
1. Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu.
2. Distribusi Poisson mengkalkulasi distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses p sangat kecil dan jumlah eksperimen n sangat besar.
3. Rumus Distribusi Poisson suatu peristiwa

Ket P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson
µ = Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n . p
e = Bilangan konstan = 2,71828
X = Jumlah nilai sukses
P = Probabilitas sukses suatu kejadian


DAFTAR PUSTAKA

Adi Ningsih, Sri. 2001. Statistik Edisi Pertama. Yogyakarta: BPFE.
Aigifari, 1996.Probabilitas Dalam Pengambilan Keputusan Bisnis. Yogyakarta: BPFE.
Dajan, Anto. 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Jakarta: LP3ES.
Purwanto, Suharyadi. 2003. Statistika Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta: Salemba Empat.
Subagyo, Djarwanto. 1985. Statistika Induktif. Yogyakarta: BPFE.
Supranto. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi Edisi ke Enam. Jakarta: Erlangga.
Walpole, Myers.2000. Probabilitas dan Statistika Untuk Teknik dan Sains. Jakarta: PT Prehallindo.
Wilson, Alfredo. 1975. Konsep-konsep Probabilitas dan Perencanaan dan Perancangan Rekayasa Prinsip-prinsip Dasar Jilid I. Jakarta: Erlangga.
http://www.mate-mati-kaku.com/matematikawan/simeonDenisPoisson.html
http://elearning.gunadarma.ac.id/integrated-lab/assets/ebook/statistik/poisson/poissonindex.php
http://home.unpar.ac.id/integrated/Volume%206%20No%201/TanakaEdit.pdf



Selamat Membaca

3 komentar:

hiro mengatakan...

thnks atas artikel'a.
artikel'a lengkap.

Aryan mengatakan...

wah artikel'a lengkap
tapi membingunkan membuat tabelnya

Ade Ridwan Nugraha mengatakan...

TIPS MENGHENTIKAN KECANDUAN SMARTPHONE
http://indonugraha.blogspot.co.id/2016/02/tips-menghentikan-kecanduan-smartphone.html